La constant de Khinchine

La propietat següent és una propietat que es compleix quasi-per-tot nombre real. Prenem un nombre real a l'atzar. Calculem la seva expressió en fracció contínua. Calculem la mitjana geomètrica dels denominadors. El resultat és

2.68545200106530644530971483548179569382038229399446295305115234555721885953715200280114117493184769799515...

Nota: tot i ser una propietat que compleixen tots els nombres excepte un conjunt de mesura nul·la, cap racional la compleix, així com tampoc la compleixen les solucions de les equacions de segon grau a coeficients racionals ni el nombre e. De fet, no s'ha demostrat aquesta propietat per a cap nombre en concret.

La funció Zeta de Riemann i la suma de tots els naturals

La funció Zeta de Riemann és una funció definida al punt s com la suma pels naturals n>0 de 1/n^s. Si considerem s real, és clar que per s>1 convergeix, i pels altres reals divergeix. Si considerem s complexa, convergeix a una certa regió del pla complex, i es una funció analítica. Així doncs, la podem estendre de forma analítica (meroforma realment, està definida a tots els complexos excepte per s=1) a la resta del pla complex, i avaluarla pels s reals més petits que 1. Així a s=-1 la funció pren el valor -1/12. Si substituïm s=-1 a la sèrie original, surt el sumatori de 1/n^-1, que es el sumatori de n. Pel que "deduïm" que la suma de tots els nombres naturals és -1/12 :)